Fractales II

Si los fractales son figuras geométricas, entonces, éstas deben tener alguna dimensión. La dimensión de un fractal es un valor fraccionario, de ahí el nombre que tiene, pero ¿Qué son las Dimensiones? Dimensión Euclídea En los Elementos de Euclides, ya se define, implícitamente y de forma inductiva, el concepto de dimensión. Se dice que una figura es unidimensional, si su frontera está compuesta de puntos; bidimensional, si su frontera está compuesta de curvas y tridimensional, si su frontera está compuesta de superficies. En la geometría Euclídea, el espacio tenía 3 dimensiones, más la dimensión 0 (cero) que corresponde al punto. Se puede definir la dimensión de un elemento de acuerdo a la cantidad de datos necesarios para conocer su ubicación en el espacio. Como para ubicar un punto en el espacio no se necesitan datos, su dimensión es 0, para ubicar un punto en una recta se necesita un solo dato (longitud), por lo tanto su dimensión es 1, para ubicar un punto dentro de un área se necesitan dos datos (largo y ancho), es decir, su dimensión es dos, y para encontrar un punto ubicado en un volumen se necesitan 3 datos (largo, ancho, profundidad), entonces decimos que tiene 3 dimensiones. Las coordenadas para estas dimensiones son x, y, z. En resumen, podría decirse que las dimensiones definen hacia donde puede moverse un elemento en el espacio (izquierda-derecha, arriba-abajo, atrás-adelante). Sin embargo, muchos objetos pueden tener diferentes dimensiones locales, por ejemplo un triángulo al cual en uno de los vértices se le extiende una línea recta: ¿Qué dimensión tiene? Un punto ubicado en la recta, tendría dimensión 1, otro ubicado en algún lugar del triángulo tendría dimensión 2. Entonces ¿Qué dimensión nos serviría para ubicar un punto en cualquier lugar de la figura? Dimensión Topológica La Dimensión Topológica define las pautas para encontrar la dimensión global de un espacio, partiendo de sus distintos valores locales. Para encontrarla basta con buscar el elemento de menor dimensión que pueda separar una parte del espacio del resto y a la dimensión de este elemento sumarle 1. Ejemplo: -Una línea se puede separar por un punto (0 + 1 = 1) -El área de un cuadrado se puede separar por un segmento (1 + 1 = 2) -El volumen de un cubo se puede separar a través de un área (2 + 1 = 3) Y para que esta condición siempre se cumpla, al vació se le asigna la dimensión –1 Y así, un punto, que no se puede separar de forma alguna tendría dimensión 0 (-1 + 1 = 0) Dimensión de Hausdorff-Besicovitch (o Dimensión de autosemejanza) Los fractales y ciertas otras figuras geométricas, como los atractores, que tienen un comportamiento de sistemas dinámicos caóticos, no existían dentro de las dimensiones Euclídeas, pues tienen Dimensiones Fraccionarias, que fueron descubrimiento del matemático alemán Félix Hausdorff en el año 1919, y que más adelante completó Besicovitch. (Esta última es la que se llama a veces "Dimensión Fractal") De www.fractales.org http://fractales.org/?q=node/88